Alexander BORS, Schüler der 7B-NAWI-Klasse verfasste für die Plattform Wikipedia einen Artikel in lateinischer Sprache, der sich mit Vektoralgebra und Anwendungen der Vektorrechnung in der Physik beschäftigt.

Im Folgenden ist dieser Artikel zu lesen, witers unter der Adresse

http://la.wikipedia.org/wiki/Vector_%28mathematica%29 zu finden.

Vector (mathematica)

E Vicipaedia

Vector (-oris, m.) est terminus mathematicus qui etiam in physica usurpatur. Verbum in coniunctione directa inter duo puncta cui directio est positum est, ergo fundamentum vectoris linea cum capite ac fine exacte definitis discretisque est. Saepissime graphice hoc sagitta exprimitur (apex sagittae finis eius est) atque etiam "sagitta" nominatur.

Index

[celare]

1 Fundamenta mathematica

1.1 Gravitas vectorum

1.4 Aliquot problema, quae vectoribus solvi possunt

2 Vectores in physica

3 Vide etiam

[recensere] Fundamenta mathematica

[recensere] Gravitas vectorum

[recensere] Problemum, quod exemplo est

Omnia puncta per coordinata sua exprimi possunt, velut punctum $P (2 | 3)$ . Ad multa problema geometriae solvenda, figurae geometricae in systema coordinatorum locantur.

Exempli gratia, trianguli ABC ( $A (0 | 0)$ , $B (5 | 0)$ , $C (2 | 4)$ ) altitudo puncti c, $h c$ , sine ulla computatione cognoscitur: $h c = 4(e)$ .

Sed multa talia problema non tam simpliciter solvi possunt, si terminus vector cognitus nondum est; exempli gratia, si altitudo puncti Z trianguli XYZ ( $X (0 | 0)$ , $Y (3 | 2)$ , $Z (2 | 4)$ ) computari debet, hoc sine vectoribus paene impossibile peractu est; problemum namque est reperire punctum P in directione $g 1$ per X et Y situm, ut directio $g 2$ per Z et P cum $g 1$ angulum rectum circumcludat. Sed sine vectoribus solae aequationes functionum directiones $g 1$ et $g 2$ graphia habitantes computari possunt atque per computationem generalem punctum P vero directionem quaesitam dans reperire potest.

Hoc autem vectoribus multum facilius peragitur; est solum unum exemplum ad introductionem usumque vectorum purgandos. Tota una categoria geometriae in usu vectorum versatur, isque geometria analytica, atque hoc ad illustrandam gravitatem eorum pertinet.

[recensere] Definitio exacta

Vector exacte definitur, ut copia omnium sagittarum (superficiei plani aut spatii) parallelarum atque aequalis longitudinis directionisque sit. Plerumque vector uno elemento ipsius datur; haec sagitta "repraesentans vectoris" nominatur.

Vector ergo non sola sagitta, sed copia infinita sagittarum est. Saepe autem duo termini permiscentur (id est, repraesentans vectoris vector ipse nominatur). Differentia maxima est sagittas localiter teneri, vectores autem omnibus locis (globaliter) repraesentantibus eorum usurpari posse.

[recensere] Coordinata vectorum

Mathematice vector significatur coordinatis duobus (si vector planus est) aut tribus (si spatialis est) isque eis quae carpenda sunt, si a puncto capitis repraesentantis vectoris ad punctum finis eundum est. Exempli gratia, sagittae a puncto $A (2 | 3)$ ad $B (5 | 5)$ coordinata sunt $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ , et haec etiam coordinata vectoris hanc sagittam repraesentantem habentis.

Vectores ergo sicut puncta coordinata habent. Vector, qui eadem coordinata atque quoddam punctum P habet, repraesentantem ab origine $O (0 | 0)$ ad hoc punctum patentem habet et vector positionis $\vec p$ puncti nominatur.

In genere, puncto capitis atque finis dato coordinata cuiusdam sagittae computari possunt formula:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{A} \\ y_{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{pmatrix}$ (regula "de apice hastam").

[recensere] Operationes vectorum

Regula "de apice hastam" iam unam operationem vectorum, namque subtractionem, continet, cum talis operatio tandem primum definienda sit. Definitio operationum vectorum in aspectibus graphicis posita est, et qua de causa hae ad multa problema solvenda usurpari possunt.

[recensere] Additio vectorum

Additio duorum vectorum tertium vectorem dat. Haec ita definitur: Hasta repraesentantis unius summandi in apicem alterius summandi ponenda est. Sagitta, quae ab hasta primae sagittae repraesentantis ad apicem secundae (cuius hasta eodem loco atque apex alterius sita est) patet, repraesentans summae duorum vectorum est.

In genere, summa vectorum $\vec a$ ac $\vec b$ computari potest formula:

$\vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \end{pmatrix}$

[recensere] Subtractio vectorum

Quae per additionem definiri potest: Subtractio $\vec a - \vec b$ additionem vectoris $-\vec b = -\begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_{b} \\ -y_{b} \end{pmatrix}$ (vectoris adversi vectoris $\vec b$ ) ad vectorem $\vec a$ significat. Ergo differentia duorum vectorum est:

$\vec a - \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} - x_{b} \\ y_{a} - y_{b} \end{pmatrix}$

[recensere] Multiplicatio scalaris vectorum

Vectoribus duae species multiplicationis sunt, namque multiplicatio scalaris atque crucis.

Scalaris multiplicatio duorum vectorum $\vec a \cdot \vec b$ ita definitur: Primum productum longitudinis repraesentantis vectoris $\vec a$ atque proiectionis normalis repraesentantis vectoris $\vec b$ in repraesentantem vectoris $\vec a$ computandum est, deinde hoc signo positivo (+), si proiectio normalis eandem directionem atque repraesentans $\vec a$ habet, aut negativo (-), si proiectio alterius directionis est, ornatur. Hic numerus productum scalaris vectorum $\vec a$ et $\vec b$ nominatur. Computari potest etiam formula:

$\vec a \cdot \vec b$ = $\begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}$ .

Si duo vectores anguli recti sunt, productum scalaris eorum 0 aequat.

[recensere] Multiplicatio crucis vectorum

Altera multiplicatio vectorum multiplicatio crucis nominatur. Quae solum vectoribus spatialibus definitur.

In genere, operationes iam dictae (id est, additio, subtractio atque multiplicatio scalaris duorum vectorum) pariter vectoribus spatialibus definitae sunt; exempli gratia, additio duorum vectorum spatialium ita fit:

$\vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \\ z_{a} + z_{b} \end{pmatrix}$ .

Multiplicatio crucis vectorum spatialium $\vec a \times \vec b$ productum dat vectorem tertium, cui proprietates sequentes sunt:

1.) Repraesentans vectoris $\vec a \times \vec b$ et cum repraesentante vectoris $\vec a$ et cum huius $\vec b$ angulum rectum circumcludit.

2.) Longitudo repraesentantis producti crucis aequalis areae est atque parallelogramma, quod a repraesentantibus factorum attenditur.

3.) Sunt semper duo vectores proprietatum 1.) atque 2.), quibus directiones adversae sunt; eorum vector iustus regula sequente reperiri potest: Vectores $\vec a$ , $\vec b$ et $\vec a \times \vec b$ easdem directiones habent atque primi tres digiti manus dexterae, si hi omnes angulum rectum inter se habentes a manu attenduntur ("regula manus dexterae").

Productum crucis ita computatur:

$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$ .

[recensere] Aliquot problema, quae vectoribus solvi possunt

[recensere] Punctum dimidii lineae reperire

Punctis A et B datis, punctum dimidii lineae inter ea ita computari potest:

Sagitta $\overrightarrow{AB}$ a puncto A usque ad B patet. Si solum dimidium sagittae capitur atque ad sagittam positionis puncti A additur, hoc sagittam positionis puncti dimidii quaesiti H dat:

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}$ ,

ergo $\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} x_{b} - x_{a} \\ y_{b} - y_{a} \end{pmatrix}$ (regula "de apice hastam"),

ergo $\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot x_{b} - \frac{1}{2} \cdot x_{a} \\ \frac{1}{2} \cdot y_{b} - \frac{1}{2} \cdot y_{a} \end{pmatrix}$ ,

ergo $\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot x_{a} + \frac{1}{2} \cdot x_{b} \\ \frac{1}{2} \cdot y_{a} + \frac{1}{2} \cdot y_{b} \end{pmatrix}$ ,

ergo $\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \end{pmatrix}$ ,

ergo $\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \cdot {\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}$ ,

ergo $\overrightarrow{OH} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$ ,

ergo $\vec h = \frac{\vec a + \vec b}{2}$

Vector positionis puncti H dimidium summae vectorum positionum punctorum A et B aequat.

Exempli gratia, si $A (2 | 1)$ et $B (4 | 5)$ , $\vec h = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}}{2} = \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}}{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ , ergo $H (3 | 3)$ .

[recensere] Completio figurae geometricae; exemplum: parallelogramma

Si unius parallelogrammatis puncta tria data sunt, quartum punctum figurae vectoribus reperiri potest.

Exempli gratia, puncta $A (1 | 1)$ , $B (3 | 4)$ et $C (2 | 5)$ rectanguli cognita sint punctumque D reperiendum est. Quod $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ , coordinata ita computantur:

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD}$ ,

ergo $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{AB}$ ,

ergo $\vec d = \vec c - {\vec b - \vec a}$ ,

ergo $\vec d = \vec a - \vec b + \vec c = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Quartum punctum igitur coordinata $D (0 | 2)$ habet.

[recensere] Centrum gravitatis trianguli

Quod computatur per formulam $\vec s = \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3}$ , si triangulo anguli in punctis A, B et C sunt.

Triangulum punctorum $A (1 | 1)$ , $B (6 | 5)$ et $C (2 | 12)$ igitur centrum gravitatis $S (3 | 6)$ habet.

[recensere] Vectores in physica

Physici vectoribus utuntur ad multas magnitudines exprimendas, velut vires. In genere, omnes magnitudines quibus non solum fortitudo, sed etiam directio est, ita exprimuntur.

Velocitas, exempli gratia, directionem habet. Aliquid non solum celeriter aut lente se movere potest, sed etiam in directionem certam.

[recensere] Vires

Physice vis definitur productum massae et accelerationis, quae in motio unius rei ab hac vi causatae observantur.

Exempli gratia, si res aequaliter accelerate se movet (acceleratio $a = 5 \frac{m}{s^2}$ ) et huic rei massa $m = 20 kg$ est, vis effecta fortitudinem $F = 100 N$ habet (nota bene hoc non vim ipsam esse, sed solum fortitudinem eius; vis semper etiam directionem habet). Vectore directio, quae vis habet, exprimitur.

Si duae aut complures vires eiusdem temporis rem movent, motio, quae vero peragitur, motionem, quae perageretur, si res a summa virium moveretur, aequat.

Exempli gratia, si res massam $m = 5 kg$ habens atque in puncto $P (0 | 0)$ sita a viribus $\vec F_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec F_{2} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ movetur, vis vera rem movens est $\vec F = \vec F_{1} + \vec F_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Si nunc una unitas longitudinis vectorum $1 N$ significat, fortitudines virium sunt: $F_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3,61 N$ , $F_{2} \approx 5,10 N$ et $F \approx 7,28 N$ . Hoc exemplum bene demonstrat vim effectam fortitudine summam summandorum non aequare, cum vectoribus ea vis summa plane sit.

[recensere] Labor

Si res massae $m$ in directionem datam moveri debet, sane optime laborabitur, si vis, quae adhibetur, $\vec F$ aequalis directionis est. Pessime laborabitur, si vis contrariae directionis usurpatur (id est, $-\vec F$ ), quia ita res in directionem contrariam trahetur!

Labor administratus ergo non solum a fortitudine, sed etiam valde a directione vectoris, qui vim repraesentat, constituitur. Physice terminus "labor" ita definitur, ut productum scalaris cum factoribus spatio $\vec s$ (quod ibi vectore exprimitur!) atque vi $\vec F$ aequet:

$W = \vec F \cdot \vec s = \pm F_{s} \cdot s$

Hac in formula $F s$ longitudinem repraesentantis eius vectoris, qui proiectio normalis vectoris $\vec F$ in spatium $\vec s$ est, atque $s$ hanc repraesentantis $\vec s$ designat (vide etiam definitionem multiplicationis scalaris). Labor etiam negativus esse potest, isque si $\vec F_{s}$ directionem contrariam atque $\vec s$ habet (resque igitur in directionem "falsam" movetur).